Question

在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知2bcosA=2c-a．（I）求角B的大小；（II）若b=2，求△ABC的

在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知2bcosA=2c-a．（I）求角B的大小；（II）若b=2，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）∵2bcosA=2c-a，
∴根据正弦定理，得2sinBcosA=2sinC-sinA，
∵A+B=π-C，可得sinC=sin（A+B）=sinBcosA+cosBsinA，
∴代入上式，得2sinBcosA=2sinBcosA+2cosBsinA-sinA，
化简得（2cosB-1）sinA=0
∵A是三角形的内角可得sinA＞0，∴2cosB-1=0，解得cosB＝

1

2

，
∵B∈（0，π），∴B＝

π

3

；
（Ⅱ）由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，得 4=a²+c²-ac．
∵a²+c²≥2ac，
∴4=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，解之得ac≤4，
∴△ABC的面积S△ABC＝

1

2

acsinB≤

3

，
由此可得：当且仅当a=c=2时，△ABC的面积的最大值为

3

．