Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为（-2，0），离心率e=63．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为（-2，0），离心率e=63．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，T为直线x=-3上一点，过F作TF的垂线交椭圆C于P，Q两点，当四边形OPTQ是平行四边形时，求点T的坐标．

Answer 1

（1）由已知得

c

a

＝

6

3

，c=2，解得a=

6

，
由a²=b²+c²，解得b=

2

，
∴椭圆的标准方程是

x2

6

+

y2

2

＝1．
（2）设T点的坐标为（-3，m），
则直线TF的斜率k_TF=

m?0

?3?(?2)

=-m，
当m≠0时，直线PQ的斜率k_PQ=

1

m

，
直线PQ的方程是x=my-2，当m=0时，直线PQ的方程是x=2，
也符合x=my-2的形式，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，
得

x＝my?2 x2 6 + y2 2 ＝1

，消去x，得（m²+3）y²-4my-2=0，
其判断式△=16m²+8（m²+3）＞0，
∴y1+y2＝

4m

m2+3

，y1y2＝

?2

m2+3

，
x₁+x₂=m（y₁+y₂）-4=

?12

m2+3

，
∵四边形OPTQ是平行四边形，
∴

OP

＝

OT

，即（x₁，y₁）=（-3-x₂，m-y₂），
∴

x1+x2＝ ?12 m2+3 ＝?3 y1+y2＝ 4m m2+3 ＝m

，
解得m=±1，
此时，T点坐标为（-3，1）或（-3，-1）．