Question

（2014?云南二模）如图所示，在坐标系xoy的第二象限内有一半径为R0，磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，

（2014?云南二模）如图所示，在坐标系xoy的第二象限内有一半径为R0，磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，该圆形磁场区域与与x轴和y轴相切于Ρ点和Q点．两个质量均为m，电荷量均为+q的带电粒子a和b，以大小相等的速度同时从Ρ点射入磁场区域，a沿+y方向，b沿与a速度方向左偏30°的方向射入．粒子经过此圆形磁场区域后都平行于x轴进入第一象限，在第一象限内有场强大小为Ε方向沿x轴负方向的匀强电场，不计粒子重 力，求：（1）粒子从Ρ点进入磁场时速度的大小；（2）粒子b进入电场后离y轴的最远距离；（3）粒子离开磁场后，在电场作用下将返回圆形磁场区域，求它们再次离开磁场时的坐 标及a、b粒子从Ρ点进入磁场到第二次离开磁场的时间差．

Answer 1

（1）a、b两粒子在磁场中做圆周运动的半径大小相等，要使粒子a出磁场时平行于x轴进入第一象限，根据几何关系可知，粒子a一定从Q点射出磁场，设a、b做圆周运动的半径为R，则有：R=R₀…①
洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律有：qvB＝m

v2

R

…②
由①②得：v=

qBR0

m

…③
（2）设粒子离y轴的最远距离为x，
qEx＝

1

2

mv2…④
解得：x＝

qB2R02

2mE

…⑤
（3）两粒子再次进入磁场时的轨道半径，R=R₀，故a粒子的运动轨迹必过圆形磁场区域的最高点N，N点的坐标为：
（-R₀，2R₀）… ⑥
如图所示，O₃为磁场区域的圆心，O₂为b粒子运动的圆心，连接O₃N、O₃M、O₂N、O₂M，四边形O₂MO₃N为一菱形，故粒子b运动的轨迹也过N点．N点的坐标为：（-R₀，2R₀）…⑦
由运动轨迹可知，a、b两粒子在磁场和电场中运动的总时间相等，因此它们到达N的时间差为粒子b从M到s时间的2倍，设MS的长度为l，可得：
△t＝

2l

v

根据几何关系得：l＝R0?R0cos30°＝(1?

3

2

)R0…⑨
解得：△t＝

(2? 3 )m

qB

．
答：（1）粒子从Ρ点进入磁场时速度的大小为

qBR0

m

；
（2）粒子b进入电场后离y轴的最远距离为x＝

qB2R02

2mE

；
（3）它们再次离开磁场时的坐标均为（-R₀，2R₀），a、b粒子从Ρ点进入磁场到第二次离开磁场的时间差为△t＝

(2? 3 )m

qB

．