Question

如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，B为切点，OC平行于弦AD，连接CD．过点D作DE⊥AB于E，交AC于点P

如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，B为切点，OC平行于弦AD，连接CD．过点D作DE⊥AB于E，交AC于点P，求证：点P平分线段DE．

Answer 1

解答：证明：先证明CD是⊙O的切线．
连接OD，
∵OC∥AD，
∴∠1=∠ADO，∠2=∠DAO，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠DAO，
∴∠1=∠2，
∵OD=OB，OC=OC，
∴△ODC≌△OBC，
∴∠ODC=∠OBC．
∵OB是⊙O的半径，BC是⊙O的切线，
∴BC⊥OB．
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
∴CD⊥OD．
∴CD是⊙O的切线．
再证点P平分线段DE．
过A作⊙O的切线AF，交CD的延长线于点F，则FA⊥AB．
∵DE⊥AB，CB⊥AB，
∴FA∥DE∥CB，
∴

FD

FC

＝

AE

AB

．
在△FAC中，
∵DP∥FA，
∴

DP

FA

＝

DC

FC

即

DP

DC

＝

FA

FC

．
∵FA、FD是⊙O的切线，
∴FA=FD，
∴

DP

DC

＝

FD

FC

．
在△ABC中，
∵EP∥BC，
∴

EP

BC

＝

AE

AB

．
∵CD、CB是⊙O的切线，
∴CB=CD，

EP

DC

＝

AE

AB

，
∴

DP

CD

＝

EP

CD

，
∴DP=EP，
∴点P平分线段DE．

Answer 2

连接OD，∵OC∥AD，∴∠1=∠ADO，∠2=∠DAO，∵OA=OD，∴∠ADO=∠DAO，∴∠1=∠2，∵OD=OB，OC=OC，∴△ODC≌△OBC，∴∠ODC=∠OBC．∵OB是⊙O的半径，BC是⊙O的切线，∴BC⊥OB．∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴CD⊥OD．∴CD是⊙O的切线．再过A作⊙O的切线AF，交CD的延长线于点F，则FA⊥AB．∵DE⊥AB，CB⊥AB，∴FA∥DE∥CB，∴FD/FC＝AE/AB．在△FAC中，∵DP∥FA，∴DP/FA＝DC/FC即DP/DC＝FA/FC．∵FA、FD是⊙O的切线，∴FA=FD，∴DP/DC＝FD/FC．在△ABC中，∵EP∥BC，∴EP/BC＝AE/AB．∵CD、CB是⊙O的切线，∴CB=CD，EP/DC＝AE/AB，∴DP/CD＝EP/CD，∴DP=EP，∴点P平分线段DE．