Question

梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD=5,AD/BC=2/5,COSB=3/5,LAPQ=LB

P是BC上以动点。PQ交射线AD与Q，设PB=X,QD=Y
1.用含有X的代数式表示AP
2.三角形CPQ与三角形QBP能否相似。若能球BP长
三角形CPQ与三角形ABP能否相似

Answer 1

设BP=x
1、根据余弦定理，CosB=(AB^2+BP^2-AP^2)/（2AB*BP）=3/5，将AB=5和BP=x代入，可解得：AP^2=x^2-6x+25，开平方，取算术平方根，得：
AP=根号下（x^2-6x+25）；
2、不能。过A、D分别作AE，DF垂直BC，则EF=AD，BE=CF=AB*CosB=3。又因为：AD/BC=AD/（BE+EF+FC）=AD/（AD+6）=2/5，解得：AD=4，所以BC=10。又因为：角CPQ是三角形QBP的外角，等于不相邻的两个内角和，所以它不可能等于不相邻的角，所以，若相似，则：角CPQ=角BPQ=90度。又因为角APQ=角B，所以，角B+角APB=角APQ+角APB=角BPQ=90度。所以，此时三角形ABP为直角三角形，所以，AB/BP=CosB=3/5，即：5/BP=3/5，所以，BP=25/3,这时,PC=10-25/3=5/3，CP/PQ=（5/3）/4=5/12，而PQ/BP=4/（25/3）=12/25不等于5/12。所以三角形CPQ与三角形QBP不能相似。
啊哈，楼主又补充题目了啊，可得加点奖励了啊。
3、三角形CPQ与三角形ABP能相似。因为AD//BC，所以，角APB=角PAQ，角AQP=角CPQ。又，角APQ=角B，所以，三角形ABP相似于三角形QPA，所以，AP/BP=AQ/AP，所以，AQ=AP*AP/BP。又AB=CD，所以，角BCD=角B。
所以：
（1）当角PCQ=角B=角BCD时，三角形CPQ相似于三角形BAP，这时CD、CQ共线，D、Q重合，AQ=AD=4，所以，（x^2-6x+25）/x=4，解得，x=5，即，BP=5；
（2）当角PQC=角B时，三角形CPQ相似于三角形PAB，这时，角PQC=角ABP=角APQ，所以，AP//CQ，APCQ为平行四边形，CP=CQ，又BP+CP=BC=10，所以，
x+（x^2-6x+25）/x=10，解得，x1=（8+根号下14）/2，x2=（8-根号下14）/2，
经检验，它们都是原方程的解，即BP=（8+根号下14）/2或BP=（8-根号下14）/2

Answer 2

1.根据余玄定理， AP2=AB2+BP2-2*AB*BP*COSLB
AP=根号下（25+X2-2*5*X*3/5）=根号（X2-6X+25）

第二问明天再来看看，门卫赶人了