Question

如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于点E，∠POC=∠PCE．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2

如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于点E，∠POC=∠PCE．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半径；（3）求sin∠PCA的值．

Answer 1

（1）证明：∵弦CD⊥AB于点E， ∴∠CEP=90°． ∵∠POC=∠PCE，∠P=∠P， ∴△POC ∽ △PCE， ∴∠PCO=∠CEP=90°． ∴PC是⊙O的切线． （2）∵OE：EA=1：2， ∴OE：OC= 1 3 ，OC：OP= 1 3 ． ∵PA=6， ∴⊙O的半径=3． （3）连接BC； ∵圆的半径为3，OE：EA=1：2， ∴OE=1， ∴EC=2 2 ，BE=4； ∴BC=2 6 ． ∵∠PCA=∠B， ∴sin∠B=sin∠PCA= 2 2 2 6 = 3 3 ．