Question

数学题无穷等比数列？

无穷等比数列{an}各项之和为3，第二项为-4/3 求此数列的奇数项的和、偶数项的和

Answer 1

无穷等比数列收敛的条件为-1
因为a2≠0，所以q≠0
Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)
当n趋于无穷大时,q^n趋于0
所以数列｛an｝各项和S=a1/(1-q)=3
a2=a1*q=-4/3,a1=-4/(3q)
代入得-4/(3q)=3(1-q)
9q²-9q-4=0
(3q+1)(3q-4)=0
所以q=-1/3或q=4/3
因为-1得q=-1/3
a1=-4/(3q)=4
设此数列的奇数项组成新的无穷等比数列｛bn｝
则有bn=a(2n-1)
b(n+1)/bn
=a(2n+1)/a(2n-1)
=q²=1/9
数列｛bn｝的前n项和Tn
=b1*(1-(q²)^n)/(1-q^2)
=a1*(1-9^(-n))/(1-1/9)
=9/2*(1-9^(-n))
当n趋于无穷大时,9^(-n)趋于0
所以数列｛bn｝各项和T=9/2
即数列｛an｝的所有奇数项的和为9/2
同理可得数列｛an｝的所有偶数项的和为-3/2

Answer 2

假命题。反例 2018.6.18 注：有理数等差数列的话，有一个平凡的反例