已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC= ,且60°< <120°.P为△ABC内部一点,且PC=AC,∠PCA=12

已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=,且60°<<120°.P为△ABC内部一点,且PC=AC,∠PCA=120°—.(1)用含的代数式表示∠APC,得∠AP... 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC= ,且60°< <120°.P为△ABC内部一点,且PC=AC,∠PCA=120°— .(1)用含 的代数式表示∠APC,得∠APC =_______________________;(2)求证:∠BAP=∠PCB;(3)求∠PBC的度数. 展开
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(1)∠APC .    
(2)证明:∵CA=CP,
∴∠1=∠2=
∴∠3=∠BAC-∠1= =
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB= =
∴∠4=∠ACB-∠5= =
∴∠3=∠4.
即∠BAP=∠PCB.                        
(3)解法一:在CB上截取CM使CM=AP,连接PM(如图6).

∵PC=AC,AB=AC,
∴PC=AB.
在△ABP和△CPM中,
           AB=CP,
∠3=∠4,
AP=CM,
∴△ABP≌△CPM.
∴∠6=∠7, BP=PM.
∴∠8=∠9.
∵∠6=∠ABC-∠8,∠7=∠9-∠4,
∴∠ABC-∠8=∠9-∠4.
即( )-∠8=∠9-( ).
∴ ∠8+∠9=
∴2∠8=
∴∠8=
即∠PBC= .                        
解法二:作点P关于BC的对称点N,
连接PN、AN、BN和CN(如图7). 

则△PBC和△NBC关于BC所在直线对称.
∴△PBC≌△NBC.
∴BP=BN,CP=CN,
∠4=∠6= ,∠7=∠8.
∴∠ACN=∠5+∠4+∠6
= =
∵PC=AC,
∴AC=NC.
∴△CAN为等边三角形.
∴AN=AC,∠NAC=
∵AB=AC,
∴AN=AB.
∵∠PAN=∠PAC-∠NAC=( )- =
∴∠PAN=∠3.
在△ABP和△ANP中,
           AB=AN,
∠3=∠PAN,
AP=AP,
∴△ABP≌△ANP.
∴PB=PN.
∴△PBN为等边三角形.
∴∠PBN=
∴∠7= ∠PBN =
即∠PBC= .              

此题主要考查三角形内角和定理及等腰三角形的性质的综合运用,综合性较强。
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