已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC= ,且60°< <120°.P为△ABC内部一点,且PC=AC,∠PCA=12
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=,且60°<<120°.P为△ABC内部一点,且PC=AC,∠PCA=120°—.(1)用含的代数式表示∠APC,得∠AP...
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC= ,且60°< <120°.P为△ABC内部一点,且PC=AC,∠PCA=120°— .(1)用含 的代数式表示∠APC,得∠APC =_______________________;(2)求证:∠BAP=∠PCB;(3)求∠PBC的度数.
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(1)∠APC . (2)证明:∵CA=CP, ∴∠1=∠2= . ∴∠3=∠BAC-∠1= = . ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB= = . ∴∠4=∠ACB-∠5= = . ∴∠3=∠4. 即∠BAP=∠PCB. (3)解法一:在CB上截取CM使CM=AP,连接PM(如图6). ∵PC=AC,AB=AC, ∴PC=AB. 在△ABP和△CPM中, AB=CP, ∠3=∠4, AP=CM, ∴△ABP≌△CPM. ∴∠6=∠7, BP=PM. ∴∠8=∠9. ∵∠6=∠ABC-∠8,∠7=∠9-∠4, ∴∠ABC-∠8=∠9-∠4. 即( )-∠8=∠9-( ). ∴ ∠8+∠9= . ∴2∠8= . ∴∠8= . 即∠PBC= . 解法二:作点P关于BC的对称点N, 连接PN、AN、BN和CN(如图7). 则△PBC和△NBC关于BC所在直线对称. ∴△PBC≌△NBC. ∴BP=BN,CP=CN, ∠4=∠6= ,∠7=∠8. ∴∠ACN=∠5+∠4+∠6 = = . ∵PC=AC, ∴AC=NC. ∴△CAN为等边三角形. ∴AN=AC,∠NAC= . ∵AB=AC, ∴AN=AB. ∵∠PAN=∠PAC-∠NAC=( )- = , ∴∠PAN=∠3. 在△ABP和△ANP中, AB=AN, ∠3=∠PAN, AP=AP, ∴△ABP≌△ANP. ∴PB=PN. ∴△PBN为等边三角形. ∴∠PBN= . ∴∠7= ∠PBN = . 即∠PBC= . |
此题主要考查三角形内角和定理及等腰三角形的性质的综合运用,综合性较强。 |
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