Question

如图，直线y=- 3 3 x+2与x轴，y轴分别相交于点A，B．将△AOB绕点O按顺时针方向

如图，直线y=- 3 3 x+2与x轴，y轴分别相交于点A，B．将△AOB绕点O按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜360°），可得△COD． （1）求点A，B的坐标；（2）当点D落在直线AB上时，直线CD与OA相交于点E，△COD和△AOB的重叠部分为△ODE（图①）．求证：△ODE ∽ △ABO；（3）除了（2）中的情况外，是否还存在△COD和△AOB的重叠部分与△AOB相似，若存在，请指出旋转角α的度数；若不存在，请说明理由；（4）当α=30°时（图②），CD与OA，AB分别相交于点P，M，OD与AB相交于点N，试求△COD与△AOB的重叠部分（即四边形OPMN）的面积．

Answer 1

（1）令x=0，得y=2；令y=0，得x=2 3 ， 所以A（2 3 ，0），B（0，2）． 并且OB=2，OA=2 3 ，AB=4，∠BAO=30°，∠B=60°． （2）由旋转可得OB=OD，∠ODE=∠B=60°， ∵∠B=60°， ∴△OBD是等边三角形，∠DOE=90°-60°=30°=∠BAO， △ODE ∽ △AOB． （3）有． 当OC⊥AB时，设垂足为M，这时有∠BOM=30°=∠BAO，∠B=∠B ∴△OMB ∽ △AOB． ∴α=270°+30°=300°， 即旋转300°． （4）∵当α=30°时∠BNO=90°，∠D=60°， ∴OD=2，ON= 3 ，DN=2- 3 ，MN=2 3 -3，△ODP是等边三角形，OP=OD=2． S 阴影 =S △OPD -S △DMN = 1 2 ×2× 3 - 1 2 （2- 3 ）（2 3 -3） =6- 5 2 3 ．