Question

如图所示，扇形OAB的半径OA=r，圆心角∠AOB=90°，点C是 AB 上异于A、B的动点，过点C作CD

如图所示，扇形OAB的半径OA=r，圆心角∠AOB=90°，点C是 AB 上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于 点D，作CE⊥OB于点E，点M在DE上，DM=2EM，过点C的直线PC交OA的延长线于点P，且∠CPD=∠CDE．（1）求证：DM= 2 3 r；（2）求证：直线PC是扇形OAB所在圆的切线；（3）设y=CD 2 +3CM 2 ，当∠CPO=60°时，请求出y关于r的函数关系式．

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Answer 1

（1）证明：连接OC， ∵点C是 AB 上异于A、B的点，又CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E， ∴∠ODC=∠OEC=∠AOB=90°， ∴四边形ODCE是矩形， ∴DE=OC． ∵OC=OA=r， ∴DE=r． 又∵DM=2EM， ∴DM= 2 3 DE= 2 3 r； （2）证明：设OC与DE交于点F，则在矩形ODCE中，FC=FD， ∴∠CDE=∠DCO， 又∵∠CPD+∠PCD=90°，∠CPD=∠CDE， ∴∠DCO+∠PCD=90°，即PC⊥OC于点C， 又∵OC为扇形OAB的半径， ∴PC是扇形OAB所在圆的切线； （3）过C作CH⊥DE于点H ∵∠OCD=∠CDH=∠CPO=60°， ∴在Rt△OCD和Rt△CDH中，得 CD= 1 2 OC= 1 2 r，DH= 1 2 CD= 1 4 r，CH= 3 4 r． 又MH=DM-DH= 2 3 r- 1 4 r= 5 12 r， ∴在Rt△CMH中，得CM 2 =MH 2 +CH 2 = ( 5 12 r) 2 + ( 3 4 r) 2 = 13 36 r 2 ， 则y=CD 2 +3CM 2 ， = ( 1 2 r) 2 +3× 13 36 r 2 = 4 3 r 2 ．