Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC＜60°，把线段BC绕点B逆时针旋转60°至BP；如图所示位置有∠ABQ=60°，∠BCQ=15

在△ABC中，AB=AC，∠BAC＜60°，把线段BC绕点B逆时针旋转60°至BP；如图所示位置有∠ABQ=60°，∠BCQ=150°． （1）若∠BAC=30°，则∠ABP= 度；若∠BAC=α，则∠ABP= （用α表示）；（2）求证：△ABQ为等边三角形；（3）四边形CBPQ的面积为1，求△ABC的面积．

Answer 1

（1）15， ；（2）证明见解析；（3）1.

试题分析：（1）若∠BAC=30°，一方面在△ABC中，AB=AC，可得∠ABC=75°，另一方面由旋转的性质知∠CBP=60°，因而∠ABP=15°；若∠BAC=α，同上可得 ，因而由∠BAC＜60°可得 ，所以 ；（2）连接CP，AP，由已知和旋转的性质，通过证明△ABP≌△ACP（SSS）和△ABP≌△QBC（ASA）来证明△ABQ为等边三角形；（3）通过转换 ，可得 . 试题解析：（1）15； . （2）如图，连接CP，AP， 由旋转的性质知BC=BP，∠CBP=60°，∴△BCP为等边三角形. ∴BP=CP，∠BPC=60°. 在△ABP和△ACP中，∵ ，∴△ABP≌△ACP（SSS）. ∴ . 又∵∠BCQ=150°，∴ . 在△ABP和△QBC中，∵ ，∴△ABP≌△QBC（ASA）. ∴BA=BQ. ∴△ABQ为等边三角形. （3）如图，过点A作AH⊥BP交BP的延长线于点H，则 由（2） 得 ，∴ . ∴ . 由（2）△ABQ为等边三角形得 ，∴ . ∴ . 由（2）得 ，∴ . 又∵ ，∴ .