（2013?潮州二模）已知数列{an}满足：a1=1，a2=12，且an+2=an+12an+an+1(n∈N*)．（I）求证：数列{anan+1
（2013?潮州二模）已知数列{an}满足：a1=1，a2=12，且an+2=an+12an+an+1(n∈N*)．（I）求证：数列{anan+1}为等差数列；（II）求...
（2013?潮州二模）已知数列{an}满足：a1=1，a2=12，且an+2=an+12an+an+1(n∈N*)．（I）求证：数列{anan+1}为等差数列；（II）求数列{an}的通项公式；（III）求下表中前n行所有数的和Sn．
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（I）∵
?
=
?
=
?
，
∴2
＝
+
，
∴数列满足等差中项公式为等差数列．
（II）由（I）得
＝
+(n?1)?1＝n+1
故当n≥2时，
＝
?
??
＝2×3××n＝n!
即an＝
又当n=1时，满足上式
所以通项公式为an＝
(n∈N*)．
（III）∵
| an+1 |
| an+2 |
| an |
| an+1 |
=
| an+an+1 |
| an+1 |
| an?1+an |
| an |
=
| an |
| an+1 |
| an?1 |
| an |
∴2
| an |
| an+1 |
| an+1 |
| an+2 |
| an?1 |
| an |
∴数列满足等差中项公式为等差数列．
（II）由（I）得
| an |
| an+1 |
| a1 |
| a2 |
故当n≥2时，
| a1 |
| an |
| a1 |
| a2 |
| a2 |
| a3 |
| an?1 |
| an |
即an＝
| 1 |
| n! |
又当n=1时，满足上式
所以通项公式为an＝
| 1 |
| n! |
（III）∵
aka
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