Question

已知函数f（x）=alnx+2a2x+x（a≠0）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-2y=0垂直，

已知函数f（x）=alnx+2a2x+x（a≠0）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-2y=0垂直，求实数a的值；（2）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

（1）f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′（x）=

a

x

-

2a

x2

+1（x＞0）
根据题意，有f′（1）=-2，所以2a²-a-3=0，解得a=-1或a=

3

2

；
（2）f′（x）=

(x?a)(x+2a)

x2

（x＞0）
（1）当a＞0时，因为x＞0，
由f′（x）＞0得（x-a）（x+2a）＞0，解得x＞a；
由f′（x）＜0得（x-a）（x+2a）＜0，解得0＜x＜a．
所以函数f（x）在（a，+∞）上单调递增，在（0，a）上单调递减；
（2）当a＜0时，因为x＞0，
由f′（x）＞0得（x-a）（x+2a）＞0，解得x＞-2a；
由f′（x）＜0得（x-a）（x+2a）＜0，解得0＜x＜-2a．
所以函数f（x）在（-2a，+∞）上单调递增，在（0，-2a）上单调递减．