Question

已知椭圆x24+y23＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过椭圆的右焦点作一条直线l交椭圆于点P、Q，则△F1PQ内切

已知椭圆x24+y23＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过椭圆的右焦点作一条直线l交椭圆于点P、Q，则△F1PQ内切圆面积的最大值是（　　）A．2516πB．925πC．1625πD．916π

Answer 1

因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F₁PQ的周长是定值8，所以只需求出△F₁PQ面积的最大值．
设直线l方程为x=my+1，与椭圆方程联立得（3m²+4）y²+6my-9=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y1+y2＝?

6m

3m2+4

，y1y2＝?

9

3m2+4

，
于是S△F1PQ＝

1

2

|F1F2|?|y1?y2|＝

(y1+y2)2?4y1y2

＝12

m2+1 (3m2+4)2

．
因为

m2+1

(3m2+4)2

＝

1

9m2+15+ 1 m2+1

＝

1

9m2+9+ 1 m2+1 +6

≤

1

16

，
∴S△F1PQ≤ 3
所以内切圆半径r＝

2S△F1PQ

8

≤

3

4

，
因此其面积最大值是

9

16

π．
故选D．