Question

已知无穷等比数列{an}的前n项和为Sn，各项的和为S，且limn→∞(Sn?2S)＝1，则其首项a1的取值范围是（　　

已知无穷等比数列{an}的前n项和为Sn，各项的和为S，且limn→∞(Sn?2S)＝1，则其首项a1的取值范围是（　　）A．（-1，0）∪（0，1）B．（-2，-1）∪（-1，0）C．（0，1）∪（1，2）D．（-2，0）∪（0，2）

Answer 1

∵S=

a1

1?q

，S_n=S?（1-qⁿ）
∴S_n-2S=-S（1+qⁿ），
∵

lim

n→∞

(Sn?2S)＝1，
∴?S

lim

n→∞

(1+qn) ＝1，
∵无穷等比数列，0＜|q|＜1，

lim

n→∞

qn＝0，
∴S=-1，

a1

1?q

＝?1，
q=a1+1．
0＜|a₁+1|＜1，
解得-2＜a₁＜0且a₁≠-1．
首项a₁的取值范围是（-2，-1）∪（（-1，0）．
故选B．