Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=x2+2，x∈[0，1)2?x2，x∈[?1，0)，且f（x+2）=f（x），g（x）=2

已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=x2+2，x∈[0，1)2?x2，x∈[?1，0)，且f（x+2）=f（x），g（x）=2x+5x+2，则方程f（x）=g（x）在区间[-5，1]上的所有实根之和为（　　）A．-5B．-6C．-7D．-8

Answer 1

∵f（x）=

x2+2，    x∈[0，1) 2?x2，     x∈[?1，0)

，且f（x+2）=f（x），
∴f（x-2）-2=

x2，     x?2∈[0，1)  ?x2，   x?2∈[?1，0)

；
又g（x）=

2x+5

x+2

，
∴g（x）=2+

1

x+2

，
∴g（x-2）-2=

1

x

，
当x≠2k-1，k∈Z时，
上述两个函数都是关于（-2，2）对称，；
由图象可得：方程f（x）=g（x）在区间[-5，1]上的实根有3个，
x₁=-3，x₂满足-5＜x₂＜-4，x₃满足0＜x₃＜1，x₂+x₃=-4；
∴方程f（x）=g（x）在区间[-5，1]上的所有实根之和为-7．
故答案为；C．