Question

要解析过程

Answer 1

证明：如图连接BD,交AC于点O；作EH垂直于AC于点H.
∵四边形ABCD为正方形
∴OD=1/2AC且OD⊥AC
∵DE//AC
∴四边形EHOD为矩形（两条对角线相互平行,其中EH//OD是由于两直线垂直于一条边这两直线互相平行）
∴EH=OD
∵∠ACE=30°
∴EH=1/2EC
∴AC=EC

解题思路：矩形的对边相等，对边对应的边相等所以AC=EC

Answer 2

纯暴力求解，用到三角形相似和全等

过F作AC的垂线，垂足为G
令AD=a
设AG=FG=x，则CG=AC-AG=(根号2)*a-x
又因为<FCG=30，所以CG=FG*(根号3)=(根号3)*x
所以(根号2)*a-x=(根号3)*x
x=(根号2)*a/(根号3+1)=(根号2)*a*(根号3-1)/2=(根号6-根号2)*a/2

所以
AF=根号2*x=根号2*(根号6-根号2)*a/2=(根号3-1)*a

DF=AD-AF
=a-(根号3-1)*a=(2-根号3)*a

CF=2*FG=2x
=(根号6-根号2)*a

因为DE//AC，所以EDF与CAF相似，EF/FC=DF/FA
所以EF=DF*FC/FA
=[(2-根号3)*a]*[(根号6-根号2)*a]/[(根号3-1)*a]
=[(2-根号3)*a]*根号2=(2根号2-根号6)*a

CE=EF+CF=(2根号2-根号6)*a+(根号6-根号2)*a=根号2*a=AC