Question

麻烦求下图中极限，写清步骤

Answer 1

作代换t=1/x,则原式=lim(t→0)[1-ln(1+t)/t]/t
=lim(t→0)[1/t-ln(1+t)/t²]
=lim(t→0)1/t-lim(t→0)ln(1+t)/t²
=lim(t→0)1/t-lim(t→0)t/t²
=lim(t→0)1/t-lim(t→0)1/t
=0

很多时候呢,0/0型用洛必达法则反而麻烦,直接等价无穷小替代掉好了.因为ln(1+x)~x,而x²显然和它本身等价,所以上面的lim(t→0)ln(1+t)/t²=lim(t→0)t/t²,就这样来的.

追问

老师你看这是一道题，但是这样算等于1/2，好怪

追答

是我写错,等过一会再回覆你.

追问

老师 你说要回复我怎么还没回复

追答

不好意思我最近太忙都忘记你了...
=lim(t→0)[1/t-ln(1+t)/t²]

我写到这里,接下来我上次都写错了,现在我接著写.
=lim(t→0)[t-ln(1+t)]/t²

=lim(t→0)[t-(t-t²/2+o(t²))]/t²
=lim(t→0)(t²/2+o(t²))/t²
=lim(t→0)1/2+o(t²)/t²
=1/2
之前我写错是误用了差的极限等於极限的差lim(f-g)=limf-limg,这个性质只有在limf和limg都存在的时候可以使用.我上面得的lim(t→0)1/t是无穷大,极限不存在,所以不能用.