Question

高等数学三重积分问题

如图

Answer 1

积分区域是由上半球面和上半圆锥面围成的。形如一个降落伞。
解两曲面的交线得到位于平面z=√3上的圆xx+yy=1，所以，
积分区域在xoy面的投影区域D是xx+yy《1。
该圆锥面的半顶角a按照cota=√3解得a=π/6。
用直角坐标时，原式
=∫〔-1到1〕dx∫〔-√(1-xx)到√(1-xx)〕dy∫〔√3(xx+yy)到√(4-xx-yy)〕【f(x,y,z,)】dz。
用柱面坐标时，原式
=∫〔0到2π〕dt∫〔0到1〕dr∫〔r√3到√(4-rr)〕【r*f(rcost,rsint,z)】dz。
用球面坐标时，原式
=∫〔0到2π〕dt∫〔0到π/6〕dg∫〔0到2〕【rr*sing*f(rsingcost,rsingsint,rcosg)】dr。

Answer 2

三重积分的概念是，设三元函数f（x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为ri（i=1，2,3.....n），体积记为Δδi，记||T||=max{ri}，在每个小区域内取点f（ξi，ηi，ζi），作和式Σf（ξi，ηi，ζi）Δδi，若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)，则称该极限为函数f（x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f（x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。
其中
∫∫∫——三重积分号
f(x,y,z）——被积函数
f(x,y,z)dv——被积表达式
dv——体积元
x,y,z——积分变量
Ω——积分区域
Σf（ξi，ηi，ζi）Δδi——积分和