Question

数学第一题的详细过程！谢谢

Answer 1

19.抛物线x^2=2py过点P(2,1),∴4=2p,p=2.
∴抛物线x^2=4y,①其焦点F为(0,1),
(1)由向量AF=λFB知AB过F,设AB:y=kx+1,②
代入①，得x^2-4kx-4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
x1+x2=4k,x1x2=-4,
由②，y1+y2=k(x1+x2)+2=4k^2+2,
y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k^2x1x2+k(x1+x2)+1=-4k^2+4k^2+1=1,
圆D:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,即x^2+y^2-4kx-(4k^2+2)y-3=0,③
令y=-1,得x^2-4kx+4k^2=0,x=2k,
∴圆D与直线y=-1相切。
（2）切点M为(2k,-1),MF:y=-x/k+1,即x=-ky+k,
代入③，k^2y^2-2k^2y+k^2+y^2+4k^2y-4k^2-(4k^2+2)y-3=0,
整理得(k^2+1)y^2-2(k^2+1)y-3(k^2+1)=0,
y^2-2y-3=0,
解得y1=-1=yM,y2=3=yN,
∴|MN|=4√(1+k^2),
P到MF的距离h=2/√(1+k^2),
∴△PMN的面积=(1/2)|MN|h=4,为定值。