设a,b,c为正数,求证:1/a+1/b+1/c>=9/(a+b+c)
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(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=3+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)
由均值不等式
a/b+b/a>=2根号(a/b*b/a)=2
同理a/c+c/a>=2
b/c+c/b>=2
所以原式>=3+2+2+2
当且仅当a=b=c时等号成立
所以(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9
所以1/a+1/b+1/c>=9/(a+b+c)
=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=3+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)
由均值不等式
a/b+b/a>=2根号(a/b*b/a)=2
同理a/c+c/a>=2
b/c+c/b>=2
所以原式>=3+2+2+2
当且仅当a=b=c时等号成立
所以(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9
所以1/a+1/b+1/c>=9/(a+b+c)
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