Question

已知函数f(x)=1/2ax²-(2a+1)x+2lnx(a属于R),求单调区间

Answer 1

（Ⅰ）∵函数f(x)=
1
2
ax2-(2a+1)x+2lnx (a∈R),
∴f′(x)=ax-(2a+1)+
2
x
（x＞0）．
∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行,
∴f'（1）=f'（3）,
即a-(2a+1)+2=3a-(2a+1)+
2
3
,
解得a=
2
3
．
（Ⅱ）f′(x)=
(ax-1)(x-2)
x
（x＞0）．
①当a≤0时,x＞0,ax-1＜0,
在区间（0,2）上,f'（x）＞0；
在区间（2,+∞）上f'（x）＜0,
故f（x）的单调递增区间是（0,2）,
单调递减区间是（2,+∞）．
②当0＜a＜
1
2
时,
1
a
＞2,
在区间（0,2）和(
1
a
,+∞)上,f'（x）＞0；
在区间(2,
1
a
)上f'（x）＜0,
故f（x）的单调递增区间是（0,2）和(
1
a
,+∞),单调递减区间是(2,
1
a
)
③当a=
1
2
时,f′(x)=
(x-2)2
2x
,故f（x）的单调递增区间是（0,+∞）．
④当a＞
1
2
时,0＜
1
a
＜2,在区间(0,
1
a
)和（2,+∞）上,f'（x）＞0；
在区间(
1
a
,2)上f'（x）＜0,
故f（x）的单调递增区间是(0,
1
a
)和（2,+∞）,单调递减区间是(
1
a
,2)．
（Ⅲ）由已知,在（0,2]上有f（x）max＜g（x）max．
由已知,g（x）max=0,由（Ⅱ）可知,
①当a≤
1
2
时,f（x）在（0,2]上单调递增,
故f（x）max=f（2）=2a-2（2a+1）+2ln2=-2a-2+2ln2,
所以,-2a-2+2ln2＜0,解得a＞ln2-1,
故ln2-1＜a≤
1
2
．
②当a＞
1
2
时,f（x）在(0,
1
a
]上单调递增,
在[
1
a
,2]上单调递减,
故f(x)max=f(
1
a
)=-2-
1
2a
-2lna．
由a＞
1
2
可知lna＞ln
1
2
＞ln
1
e
=-1,
2lna＞-2,-2lna＜2,
所以,-2-2lna＜0,f（x）max＜0,
综上所述,a＞ln2-1．