Question

行列式问题，谁能证明15题呢，求过程，一定采纳

Answer 1

本题解答方法有很多。

【分析】我们发现第1行全为1，可以考虑消去1，按第1行降阶展开
【解法一】
第2列，第3列，第4列减去第1列，按第1列展开，得
b-a c-a d-a
b²-a² c²-a² d²-a²
b⁴-a⁴ c⁴-a⁴ d⁴-a⁴
发现第1列，第2列，第3列，都有公因数b-a，c-a，d-a，提取公因数，得
1 1 1
b+a c+a d+a
(b²+a²)(b+a) (c²+a²)(c+a) (d²+a²)(d+a)
-a第1行加到第2行，-a³加到第3行，-a²第2行加到第3行，得
1 1 1
b c d
b³a+b²a c³a+c²a c³a+c²a
同理，第2列，第3列，第4列减去第1列，按第1列展开，得到2阶行列式，
化简后左边等于右边。

证毕。

【分析】
我们发现行列式类似范德蒙德行列式，只是少了3次方，考虑加边法。
【解法二】
将原行列式变形为
1 1 1 1 1
x a b c d
x² a² b² c² d²
x³ a³ b³ c³ d³
x⁴ a⁴ b⁴ c⁴ d⁴
此行列式为范德蒙德行列式D5
D5=(a-x)(b-x)(c-x)(d-x)(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c) ①
我们发现如果按照第1列展开，得到x的多项式，其中x³的系数就是我们所求的行列式
分析①的x³的系数，得到x³的系数为(a+b+c+d)(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)

证毕。

newmanhero 2015年3月22日12:03:32

希望对你有所帮助，望采纳。