Question

定积分在几何上应用，书上概念理解不清楚

我对于此处说的极径，图上红线处有些理解不透。
下图是我画的：

疑问：此处的函数

是不是我画的图上的OM,ON,OP....这些线呢？书上把这个函数作为扇形的半径，感觉只能是这个东西。
一开始我认为这个极径的函数代表的是 弧MP ，这个圆弧，但是感觉作为扇形的半径明显解释不通。
请指教到底该如何理解这个极径函数所代表的图形。

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Answer 1

以下用r=r(t)记。
函数r=r(t)所代表的图形是弧MP。

函数r=r(t)的自变量是极角t，因变量是极半径r。
对于在某一范围[a，b]里的每一个t。，
对应有r。=r(t。)，这个r。是【极半径】，
它的值也就是图上的OM,ON,OP之一的长度。

有一个t。，就有一个r。，就有一对（t。，r。）是平面上的点。
当t取遍[a，b]，所有的这些平面上点的轨迹就是函数r=r(t)的图形。

类比一下。
在直角坐标系，函数y=y(x)所代表的图形是曲线。

它的自变量是x，因变量是y。
对于在某一范围[a，b]里的每一个x。，
对应有y。=y(x。)，这个y。是【纵坐标】，
它的值是从x。到y。的线段的长度。

有一个x。，就有一个y。，就有一对（x。，y。）是平面上的点。
当x取遍[a，b]，所有的这些平面上点的轨迹就是函数y=y(x)的图形。

Answer 2

极坐标的概念不清而理解错了

极坐标系(polarcoordinates)是指在平面内由极点､极轴和极径组成的坐标系｡在平面上取定一点O,称为极点｡从O出发引一条射线Ox,称为极轴｡通常规定角度取逆时针方向为正｡这样,平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP的角度θ来确定,有序数对(ρ,θ)就称为P点的极坐标,记为P(ρ,θ);ρ称为P点的极径,θ称为P点的极角｡
P点是图像点
如果是一系列的P点，将这些P点有序的连接为函数的图像。

Answer 3

可以用定积分求出不规则几何图形的面积