三种解决一元三次方程的求根公式

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大沈他次苹0B
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  导语:一元三次方程的标准形式(即所有一元三次方程经整理都能得到的形式)是ax3+bx2+cx+d=0(a,b,c,d为常数,x为未知数,且a≠0)。一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法与盛金公式法。两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。由于用卡尔丹公式解题存在复杂性,相比之下,盛金公式解题更为直观,效率更高。

  一元三次方程求根公式

  下面介绍三种三次方求根计算方法:   

  第一:计算方法

  X(n+1)=Xn+[A/X^2-Xn)1/3

  n,n+1是下角标,A被开方数。

  例如,A=5,5介于1的3次方至2的3次方之间。X0可以取1.1;1.2;1.3;1.4;1.5;1.6;1.7;1.8;1.9;2.0我们可以随意代入一个数,例如2,那么:

  第一步,2+[5/(2×2)-2]×1/3=1.7=X1;

  第二步,1.7+[5/(1.7×1.7)-1.7]×1/3=1.71=X2;

  第三步,1.71+[5/(1.71×1.71)-1.71]×1/3=1.709=X3;

  每次多取一位数。公式会自动反馈到正确的数值。

  第二:置换群解法

  一元三次方程 系数和根的关系如下:求出X,Y,后有这是个线性方程,其中为原方程的三个根!

  第三:公式法(卡尔丹公式)

  若用A、B换元后,公式可简记为:

  x1=A^(1/3)+B^(1/3);

  x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2;

  x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。

  判别法

  当△=(q/2)^2+(p/3)^3>0时,有一个实根和一对个共轭虚根;

  当△=(q/2)^2+(p/3)^3=0时,有三个实根,其中两个相等;

  当△=(q/2)^2+(p/3)^3<0时,有三个不相等的实根。

  推导

  第一步:

  ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0)

  为了方便,约去a得到

  x^3+kx^2+mx+n=0

  令x=y-k/3 ,

  代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0 ,

  (y-k/3)^3中的y^2项系数是-k ,

  k(y-k/3)^2中的y^2项系数是k ,

  所以相加后y^2抵消 ,

  得到y^3+py+q=0,

  其中p=-k^2/3+m ,

  q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。

  第二步:

  方程x^3+px+q=0的三个根为:

  x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+

  +[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3);

  x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+

  +w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3);

  x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+

  +w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3),

  其中w=(-1+i√3)/2。

  ×推导过程:

  1、方程x^3=1的解为x1=1,x2=-1/2+i√3/2=ω,x3=-1/2-i√3/2=ω^2 ;

  2、方程x^3=A的解为x1=A^(1/3),x2=A^(1/3)ω,x3=A^(1/3)ω^2 ,

  3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+sx^2+tx+u=0的`形式。

  再令x=y-s/3,代入可消去次高项,变成x^3+px+q=0的形式。

  设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解,代入整理得:

  (u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①,

  如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立,

  由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方程y^2+qy-(p/3)^3=0的两个根。

  解之得,y=-q/2±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),

  不妨设A=-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),B=-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),

  则u^3=A;v^3=B ,

  u= A^(1/3)或者A^(1/3)ω或者A^(1/3)ω^2 ;

  v= B^(1/3)或者B^(1/3)ω或者B^(1/3)ω^2 ,

  但是考虑到uv=-p/3,所以u、v只有三组解:

  u1= A^(1/3),v1= B^(1/3);

  u2=A^(1/3)ω,v2=B^(1/3)ω^2;

  u3=A^(1/3)ω^2,v3=B^(1/3)ω,

  最后:

  方程x^3+px+q=0的三个根也出来了,即

  x1=u1+v1=A^(1/3)+B^(1/3);

  x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2;

  x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。

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