Question

已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|

（1）若关于x的不等式f（x）≥k有解，求k的最大值
（2）求不等式f（x）≥x²－8x＋15的解集

Answer 1

1） 讨论x:
当x>=5时， f(x)=x-2-(x-5)=3
当2<x<5时， f(x)=x-2+x-5=2x-7, 此时值域为(-3, 3)
当x<=2时， f(x)=2-x+x-5=-3
故f(x)的值域为[-3, 3]
要使f(x)>=k有解，须有：k<=3
即k的最大值为3
2）当x>=5时， 不等式化为：x²-8x+15<=3, 即x²-8x+12<=0, (x-2)(x-6)<=0, 得2=<x<=6, 得：5=<x<=6;
当2<x<5时，不等式化为：x²-8x+15<=2x-7, 即x²-10x+22<=0, 得：5-√3=<x<=5+√3, 得：5-√3=<x<5
当x<=2时， 不等式化为：x²-8x+15<=-3, 即x²-8x+18<=0, (x-4)²+2<=0, 无解。
综合得，原不等式的解集为：[2, 6]