Question

二元二次方程最值怎么求

比如图中方程，应该怎么求最小值？（原题是用向量求的，但是我化简到这一步感觉求最值也能做。用向量法结果带入最值应该是-7，但我不知道怎么求）

Answer 1

求偏导就完事啦。
令f(x,y)=x²+y²+xy-4x-5y，x∈R,y∈R
显然f(x,y)在定义域内存在连续偏导数
对f(x,y)求一阶偏导得
fx=2x+y-4
fy=2y+x-5
令fx=0，fy=0，解得x=1，y=2
对f(x,y)求二阶偏导得
fxx=2，fyy=2，fxy=fyx=1
即f(x,y)的四个二阶偏导在定义域内恒大于零
设在点(1,2)处A=fxx，B=fxy=fyx，
C=fyy
因为AC-B²=3>0，且A=2>0
所以f(x,y)在点(1，2)取到极小值，且极小值为f(1,2)=-7
又因为f(x,y)在定义域内只存在此一个极小值，因此f(x,y)min=-7
即(x²+y²+xy-4x-5y)min=-7