Question

高数 求解答

Answer 1

定义介绍

设给定二元函数z=ƒ(x,y)和附加条件φ(x,y)=0，为寻找z=ƒ(x,y)在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数L(x,y)=ƒ(x,y)+λφ(x,y)，其中λ为参数。求L(x,y)对x和y的一阶偏导数，令它们等于零，并与附加条件联立，即

L'x(x,y)=ƒ'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0，

L'y(x,y)=ƒ'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0，

φ(x,y)=0

由上述方程组解出x，y及λ，如此求得的(x,y)，就是函数z=ƒ(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点。

证明

以三元函数为例，即求目标函数：u=f(x,y,z) 在限制条件：①G（x,y,z）=0 ② H（x,y,z）=0下的极值。

假定f,G,H,具有连续的偏导数,且Jacobi矩阵:

J=(

Gx Gy Gz ) 注释：这里表示的是2x3的矩阵,Hx Gx分别表示H,G对x求偏导.

在满足约束条件的点处是 行满秩 即Rank(J)=2

先考虑取到条件极值的必要条件.上述约束条件实际是空间曲线的方程.设曲线上一点(,,) 为条件极值点，由于在该点处rank(J)=0，不妨假设在(,,)点处,则由隐函数存在定理，在点（,,)附近由该方程可以唯一的确定 y=y(x),z=z(x), 其中=y(),=z().它是这个曲线方程的参数形式.

将它们带入目标函数，原问题就转化为函数:

的无条件极值问题，是函数（x）的极值点，因此有'（x）=0

也就是

这说明向量

gradf(,,)与向量正交，即与曲线在点(,,)的切向量正交，因此这点的梯度grad f(,,)可以看做是曲线在点 (,,) 处的法平面上的向量，在根据平面上任意一个向量都可以有一对不共线的向量线性表示，又由于这个法平面是由grad G(x0,y0,z0)与gradH(,,)张成的，因此，存在常数a,b使得 gradf(,,)=a*grad G(x0,y0,z0)+b*gradH(x0,y0,z0).

这就是点(,,）为条件极值点的必要条件。

将上述方程写成分量的形式，就可以得到。

Answer 2