Question

求幂级数的和函数x^n/2^n

Answer 1

计算过程如下：

∑x^n/2^n

=1+x/2+(x/2)^2+(x/2)^3+……+(x/2)^n

收敛域为(-1,1)

∑(n=0,∞)x^n/2^n

=1+x/2+(x/2)^2+(x/2)^3+……+(x/2)^n即等比数列

=1+[(x/2)(1-(x/2)^n)]/(1-(x/2))

=1+x/2(-1<x<1)

函数的单调性：

设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递增的。

如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）>f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递减的，单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。

Answer 2

S = ∑(2n-1/2^n)*x^2n-2
积分得∫Sdx = ∑ [x^(2n-1)]/2^n
=(1/x) ∑ [x^2/2]^n

然后∑ [x^2/2]^n就是等比数列求和了，求和后在对∫Sdx求导还原S即可

Answer 3

把(x/2)看做x,用x∧n的幂级数和的公式代入即可。

Answer 4

如图：