Question

点线距离指的是什么?

Answer 1

点线距离是指点到直线的距离。例如：若有线为Ax＋By＋C＝0，点坐标为（Xo，Yo），那么这点到这直线的距离就为：│AXo＋BYo＋C│／√（A²＋B²）。

过程与方法目标：

(1)通过对点到直线距离公式的推导，提高学生对数形结合的认识，加深用“计算”来处理“图形”的意识；

(2)把两条平行直线的距离关系转化为点到直线距离。

点线距离定义法证：

根据定义，点P(x₀,y₀)到直线l：Ax+By+C=0的距离是点P到直线l的垂线段的长，设点P到直线的垂线为l'，垂足为Q。

则l'的斜率为B/A则l'的解析式为y-y₀=(B/A)(x-x₀)把l和l'联立得l与l'的交点Q的坐标为((B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2),，(A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2))由两点间距离公式得。

PQ^2=[(B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)-x0]^2+[(A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2)-y0]^2。

=[(-A^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)]^2+[(-ABx₀-B^2y₀-BC)/(A^2+B^2)]^2。

=[A(-By₀-C-Ax₀)/(A^2+B^2)]^2+[B(-Ax₀-C-By₀)/(A^2+B^2)]^2。

=A^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2+B^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2。

=(A^2+B^2)(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2。

=(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)。

所以PQ=|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)，公式得证。