Question

一个高数填空题求解释

Answer 1

解：
∵f(x)存在三阶连续导数，
∴根据泰勒公式：
f(x)=f(0)+f'(0)x+(f''(0)/2!)·x²+(f'''(0)/3!)·x³+Rn(x)，其中lim(x→0)Rn(x)=0
∴f(x)=1+(x/2)-(x²/2)+(x³/6)+Rn(x)
因此：
f(x)-p3(x)
=(1-a0)+(1/2 - a1)x-(1/2+a2)x²+(1/6-a3)x³+Rn(x)
∵f(x)-p3(x)是关于x的尽可能高阶的无穷小，
∴在f(x)只存在三阶连续导数的情况下

Answer 2

解：
∵f(x)存在三阶连续导数，
∴根据泰勒公式：
f(x)=f(0)+f'(0)x+(f''(0)/2!)·x²+(f'''(0)/3!)·x³+Rn(x)，其中lim(x→0)Rn(x)=0
∴f(x)=1+(x/2)-(x²/2)+(x³/6)+Rn(x)
因此：
f(x)-p3(x)
=(1-a0)+(1/2 - a1)x-(1/2+a2)x²+(1/6-a3)x³+Rn(x)
∵f(x)-p3(x)是关于x的尽可能高阶的无穷小，
∴在f(x)只存在三阶连续导数的情况下，
lim(x→0) [f(x)-p3(x)] = 0 .............................(1)
lim(x→0) [f(x)-p3(x)]' = 0.............................(2)
lim(x→0) [f(x)-p3(x)]'' = 0.............................(3)
lim(x→0) [f(x)-p3(x)]''' = 0.............................(4)
若要(1)成立，只能是：
1-a0=0
即：
a0=1
同理：
a1=1/2
a2=-1/2
a3=1/6

Answer 3

泰勒

Answer 4

泰勒公式:麦克劳林公式

追问

什么是x尽可能高阶的无穷小？

追答

佩亚诺余项就是高阶无穷小啊，fx-px就剩高阶无穷小了