Question

数列极限的ε-N定义

Answer 1

公式显示不完整的可以查看电脑版。
这次是赶任务，而且电脑出问题了....明天重新码...

用逻辑符号来表示数列 收敛于 即为

注:
数轴上以 为中心、长为 的小区间 ，称为 的 邻域记为 ， 称为该邻域的半径，如果不计其半径，可简称为 的邻域，记为 . 的 邻域可以用来刻画与 接近的程度.事实上, 满足上面1中的不等式等价于 ,即 在 的 邻域内.
于是，数列 收敛于 的充分必要条件是对 的任意的邻域 ，落在该邻域外的an至多有有限多个.

证明: 假设 有极限 与 ，根据极限的定义

取 ，则当 时上述两不等式均成立，于是由三角不等式有
由 的任意性知 .

证明: 设数列 收敛于 ,由极限的定义，对 ,即 取 ，则对 所有项都满足 因此 有界.

注: 该定理的逆命题不成立，即有界数列未必收敛.例如，