Question

高等代数理论基础63：同构

Answer 1

定义：对实数域R上欧式空间V与 ,若由V到 有一个双射 ,满足：

1.

2.

3.

其中 ,则称 为V到V'的同构映射

注：

1.同构的欧式空间必有相同的维数

若 是欧式空间V到V'的一个同构映射

则 也是V到V'作为线性空间的同构映射

2.每个n维欧式空间都与 同构

设V是一个n维欧式空间,在V中取一组标准正交基 ,在这组基下,V的每个向量 都可表成

令 ,是V到 的一个双射, 是V到 的一个同构映射

3.同构作为欧式空间之间的关系具有反身性、对称性、传递性

首先,每个欧式空间到自身的恒等映射显然是一同构映射

即同构关系是反身的

其次,设 是V到V'的一同构映射,对逆映射

,有

即 是V'到V的一同构映射,故同构关系是对称的

设 分别是V到V',V'到V''的同构映射

易证, 是V到V''的同构映射,故同构关系是传递的

注：任两个n维欧式空间都同构

定理：两个有限维欧式空间同构的充要条件是它们的维数相同

注：定理说明,欧式空间的结构完全被它的维数决定