Question

高数，望解答

Answer 1

解：
设{an}公差为d，则d>0
数列是等差数列，a1+a6=a2+a5=22，又a1a6=21，a1、a6是方程x²-22x+21=0
(x-1)(x-21)=0
x=1或x=21
d>0，a6>a1
a1=1，a6=21
a6=a1+5d
d=(a6-a1)/5=(21-1)/5=4
an=a1+(n-1)d=1+4(n-1)=4n-3
数列{an}的通项公式为an=4n-3
(1)
b1=¼a1=¼·1=¼
n≥2时，
b1+4b2+9b3+...+n²bn=¼an ①
b1+4b2+9b3+...+(n-1)²b(n-1)=¼a(n-1) ②
①- ②
n²bn=¼an-¼a(n-1)=¼d=¼·4=1
bn=1/n²
n=1时，b1=1/1²=1≠¼，不满足表达式
数列{bn}的通项公式为
bn=¼， n=1
1/n²，n≥2
(2)
n=1时，b1=¼<1，不等式成立。
n=2时，b1+b2=¼+1/2²=1/2<1，不等式成立。
n≥3时，
b1+b2+...+bn=¼+1/2²+1/3²+1/4²+...+1/n²
<¼+¼+1/(2×3)+1/(3×4)+...+1/[(n-1)n]
=½+½-⅓+⅓-¼+...+1/(n-1) -1/n
=1- 1/n
1/n>0，1- 1/n<1
综上，得b1+b2+...+bn<1