Question

有界函数

Answer 1

有界函数是设f(x)是区间E上的函数，若对于任意的x属于E，存在常数m、M，使得m≤f(x)≤M，则称f(x)是区间E上的有界函数。其中m称为f(x)在区间E上的下界，M称为f(x)在区间E上的上界。

设函数f(x)是某一个实数集A上有定义，如果存在正数M 对于一切X∈A都有不等式|f(x)|≤M的则称函数f(x)在A上有界，如果不存在这样定义的正数M则称函数f(x)在A上无界 设f为定义在D上的函数，若存在数M（L），使得对每一个x∈D有： ƒ(x)≤M（ƒ(x)≥L）。

根据定义，ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ(D)是一个有上（下）界的数集。又若M(L)为ƒ在D上的上（下）界，则任何大于（小于）M（L）的数也是ƒ在D上的上（下）界。根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界。

Answer 2

有界函数是一个数学术语，是指具有有界性的函数。

函数的自变量取遍定义域时，函数值不会跑到无穷去，这样的函数就是有界函数。用数学的语言说存在正数M使得对于任意一个定义域中的数x，成立｜f(x)|小于M。比如定义域取（0,1)时，x^2是有界函数，M取2就能看出来。但是同样的定义域，1/x就不是有界函数，找不到满足上述条件的M。

有界函数的注意点

函数在某区间上不是有界就是无界，二者必属其一；从几何学的角度很容易判别一个函数是否有界，如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间，那么函数一定是无界的，如y=tan x，x∈（-2/π，2/π）。

例如正弦函数f(x)=sin x ，取值范围是 -1到1 ，是一个有限的范围，因此可以说这个函数有界，而 y=x 这个函数的取值范围是 R，是一个无限的范围，所以可以说这个函数无界。