Question

求矩阵2+-3+1,+1+-2+3,+0+0+1的特征向量

Answer 1

矩阵A为：
2 -3 1
1 -2 3
0 0 1
则λE-A=
λ-2 3 -1
-1 λ+2 -3
0 0 λ-1
|λE-A|=(λ-1)²(λ+1)=0，可得A有二重特征值1和特征值-1
λ=1时，λE-A=
-1 3 -1
-1 3 -3
0 0 0
可初等变化为：
-1 3 -1
0 0 -2
0 0 0
可见矩阵秩为2，(λE-A)x=0基础解系中只有一个线性无关的向量
且满足-x₁+3x₂-x₃=0，x₃=0，令x₂=k，可得x=k[3, 1, 0]ᵀ
λ=-1时，λE-A=
-3 3 -1
-1 1 -3
0 0 -2
可初等变化为：
-3 3 -1
0 0 1
0 0 0
可见矩阵秩为2，(λE-A)x=0基础解系中只有一个线性无关的向量
且满足-3x₁+3x₂-x₃=0，x₃=0，令x₂=m，可得x=m[1, 1, 0]ᵀ
综上，矩阵λ=1对应的特征向量为k[3, 1, 0]ᵀ
λ=-1对应的特征向量为m[1, 1, 0]ᵀ