Question

二元关系是函数的条件

Answer 1

二元关系和函数
文章目录
二元关系和函数
笛卡儿积
1.1 定义
**笛卡儿积**
**n阶笛卡儿积**
1.2 性质
二元关系
2.1 定义
2.2 A上关系
**定义**
设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的关系
**计数规则**
**重要实例**
小于等于关系 LA:
LA={
笛卡儿积
1.1 定义
笛卡儿积
笛卡尔积一般是指笛卡尔乘积， 笛卡尔乘积是指在数学中，两个集合X和Y的笛卡尓积 ，又称直积。
表示为： A×B ={ <x,y> | x∈A ∧ y∈B }

n阶笛卡儿积
· 定义：n阶笛卡尔积

​ A × B × … × Z = {<a，b…z>|

​ a ∈ A ∧ b ∈ B ∧ … ∧ z ∈ Z}

· 定义：A^n =A1×A2×…×An

· 定理：|A× B×…× Z|=a× b×…× z.

（若无特殊说明，所涉及的笛卡儿积都指2阶笛卡儿积）

1.2 性质
· 不适合交换律 A× B ≠ B× A (A≠ B,A ≠ Ø ,B ≠ Ø )

· 不适合结合律 （B×C）× A≠ A× (B× C) (A ≠ Ø ,B ≠ Ø )

· 对于并或交运算满足分配律：

​ A×(B ∪ C)=(A×B) ∪ (A×C)
​ (B ∪ C)×A=(B×A) ∪ (C×A)
​ A×(B ∩ C)=(A×B) ∩ (A×C)
​ (B ∩ C)×A=(B×A) ∩ (C×A)

若A或B中有一个为空集，则A× B 就是空集。

A×Ø = Ø × B= Ø

若|A|=m，|B|=n，则|A× B|=mn

二元关系
2.1 定义
· 定义： 集合X与集合Y上的二元关系是R=（X,Y,G®），当中G（R），称为R的图，是笛卡尔积的子集。若（x，y）∈G（R）则称x与y有关系R，并记作xRy或R（x，y）。
有四件物件{球，糖，车，枪}及四个人{甲，乙，丙，丁}。若甲拥有球，乙拥有糖，及丁拥有车－即无人有枪及丙一无所有－则二元关系为“……拥有……”便是

R =({球，糖，车，枪}, {甲，乙，丙，丁}, {(球，甲), (糖，乙), (车，丁)})。

其中R的首项 的首项是物件的集合，次项是人的集合，而末项是由有序对（物件，主人）组成的集合。比如有序对（球，甲）以球R甲表示，代表球为甲拥有。

2.2 A上关系
定义
设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的关系
二元关系。
当A=B时则叫做 A上的二元关系
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计数规则
假设A有n个元素，A2有n2个元素，每个元素可选可不选，故总共2n2种不同的二元关系

重要实例
小于等于关系 LA:
LA={<x,y>| x,y∈A∧x≤y}, A⊆R，R为实数集合
​ e.g.设集合 A ={2,3,6} ，LA= {❤️,2>,<6,2>,<6,3>}

整除关系DA
DA={<x,y>| x,y∈B∧x整除y}, B⊆Z*, Z*为非0整数集
​ e.g.设集合 A ={2,3,6} ，DA={<2,6>,❤️,6>}

包含关系R⊆
R⊆={<x,y>| x,y∈A∧x⊆y}, A是集合族
​ e.g.设集合A={1,2,3} , r={<1,1>,<2,3>,❤️,3>}

2.4 三种特殊关系
空关系∅
空集Ø称作A上的空关系

全域关系EA
​ EA=A×A 称作A上的全域关系（完全关系）

恒等关系IA
​ IA={（x，x）|x∈A}称作A上的恒等关系

a quizze：设A={0,1,2},求A上的恒等关系R。

​ 解：R={<0,0>,<1,1>,<2,2>}.

2.5 表达方式
集合表达式
关系矩阵
​ 若A={a1, a2, …, am}，B={b1, b2, …, bn}，R是从A到B的关系，R的关系矩阵是布尔矩阵MR = [ rij ] m×n, 其中 rij = 1\leftrightarrow < ai, bj> \epsilonR。

a quizze：设A={1,2.3,4},R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>},是A上的二元关系，求A的关系矩阵。

解：
关系图
​ 若A= {x1, x2, …, xm}，R是从A上的关系，R的关系图是GR=<A, R>, 其中A为结点集，R为边集。如果<xi,xj>属于关系R，在图中就有一条从 xi 到 xj 的有向边。

a quizze：设A={1,2.3,4},R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>},是A上的二元关系，求A的关系图。

解：
笛卡尔生平故事
3.1 生平
· 出生于法国，毕业于普瓦捷大学，法国著名哲学家、物理学家、数学家，被黑格尔称为“近代哲学之父”。

· 笛卡尔自成体系，融唯物主义与唯心主义于一炉，是欧洲近代资产阶级哲学的奠基人之一

3.2 成就
· 哲学方面：从逻辑学、几何学和代数学中发现了4条规则：

绝不承认任何事物为真，对于我完全不怀疑的事物才视为真理；

必须将每个问题分成若干个简单的部分来处理；

思想必须从简单到复杂；

我们应该时常进行彻底的检查，确保没有遗漏任何东西。

· 物理学方面：第一次提出了动量守恒定律：物质和运动的总量永远保持不变。为能量守恒定律奠定了基础。 笛卡尔对碰撞和离心力等问题曾作过初步研究，给后来克里斯蒂安·惠更斯的成功创造了条件。

· 天文学方面： 笛卡尔把他的机械论观点应用到天体，发展了宇宙演化论，形成了他关于宇宙发生与构造的学说 。

· 数学方面:

1.建立笛卡尔坐标系：也叫直角坐标系。并且成功的创立了解析几何学。 他的这一成就为微积分的创立奠定了基础，而微积分又是现代数学的重要基石。解析几何直到现在仍是重要的数学方法之一。

2.笛卡尔符号法则： 笛卡尔符号法则首先由笛卡尔在他的作品《La Géométrie》中描述，是一个用于确定多项式的正根或负根的个数的方法。

3.欧拉-笛卡尔公式： 在任意凸多面体，设V为顶点数，E为棱数，F是面数，则V−E+F=2。

4.笛卡尔叶形线：笛卡尔叶形线是一个代数曲线，首先由笛卡尔在 1638年提出。

3.3 浪漫的公式体情书（心形曲线 )
​ 怎么说，看过百岁山矿泉水的广告都应该对立面的故事有印象吧，这波啊，这波不为百岁山打广告。立面讲述的就是18岁的瑞典公主克里斯汀于街头邂逅穷困潦倒的笛卡尔 。妥妥的白富美啦，这不得出任官职，走向人生巅峰？

​ 害，但好景不长，在成为 她的数学老师，日日相处使他们彼此产生爱慕之心，公主的父亲国王知道了后勃然大怒，下令将笛卡尔处死，后因女儿求情将其流放回法国，克里斯汀也被父亲软禁起来。笛卡尔回法国后不久便染上黑死病，他日日给公主写信，因被国王拦截，克里斯汀一直没收到笛卡尔的信。笛卡尔在给克里斯汀寄出第十三封信后就气绝身亡了，这第十三封信内容只有短短的一个公式：r=a（1-sinθ）。国王看不懂，觉得他们俩之间并不是总是说情话的，大发慈悲就把这封信交给一直闷闷不乐的克里斯汀，公主看到后，立即明了恋人的意图，她马上着手把方程的图形画出来，看到图形，她开心极了，她知道恋人仍然爱着她，原来方程的图形是一颗心的形状。公主在纸上建立了极坐标系，用笔在上面描下方程的点，看到了方程所表示的心脏线，理解了笛卡尔对自己的深深爱意 。

​ 虽然在后人的种种考究下，证实了这只是个浪漫的传说，并不是笛卡尔的真实经历，但不妨碍我们知道：学好数学，情话不愁。同理，学好离散，浪漫至死不渝。
二元关系的应用场景
4.1 应用场景
​ 表示集合中两个元素之间的某种相关性

4.2 栗子一
​ 设A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3},从A到B的关系R={<x,y>|x=y×y},求R。

​ 解：R={<1,1>,<4,2>}.

4.3 栗子二
​ 设A={1,2,3,4,5,6},R是A上的整除关系，求R。

​ 解：R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1, 6>,<2,4>,<2,6>,❤️,6>,}.

,5,6},B={1,2,3},从A到B的关系R={<x,y>|x=y×y},求R。

​ 解：R={<1,1>,<4,2>}.

4.3 栗子二
​ 设A={1,2,3,4,5,6},R是A上的整除关系，求R。

​ 解：R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1, 6>,<2,4>,<2,6>,❤️,6>,}.