Question

求助```这题不定积分题的解法

l119ydt.photo.163.com
题在相册里面,希望各位高手解答,要解答过程!不胜感激!
明天中午之前搞定最佳!

Answer 1

积分:3^x5^x/(25^x-9^x)dx
=积分:3^x5^x/[(5^x)^2-(3^x)^2]dx
=积分:3^x5^x/[(5^x+3^x)(5^x-3^x)]dx
=1/ln(25/9)积分:[d(5^x-3^x)/(5^x-3^x)-d(5^x+3^x)/(5^x+3^x)
=1/ln(25/9)[ln|5^x-3^x|-ln|5^x+3^x|]+C
=1/ln(25/9)ln|(5^x-3^x)/(5^x+3^x)|+C
(C为常数)

==================================
这道题目用到
(1)
积分:dx/x
=ln|x|+C
令题目中:
5^x-3^x=t
则有:
积分:dt/t
=ln|t|+C
=ln|5^x-3^x|+C
5^x+3^x类似
(2)
化到这一步:
积分:3^x5^x/[(5^x)^2-(3^x)^2]dx
明显分母要分开
拆开为:
[(5^x)+(3^x)][5^x-3^x]
然后想到:
化为:
1/(5^x-3^x)-1/(5^x+3^x)
应该有形式:
d(5^x-3^x)/(5^x-3^x),和d(5^x+3^x)/(5^x+3^x)
化开相减有:
(5^xln5-3^xln3)(5^x+3^x)-(5^xln5+3^xln3)(5^x-3^x)
=5^x3^xln|25/9|
所以把
ln|25/9|提出到分母来使得结果不变

Answer 2

上下同时除以25^x
=∫(3/5)^x/1-(9/25）^xdx
令t=(3/5)^x
则可化为
=∫[t/（1-t^2]*1/t*1/[ln（3/5)]dt
=∫[1/（1-t^2]*1/[ln（3/5)]dt
=1/[ln（3/5)]*arctant+C
再用t=(3/5)^x代换回来得
1/[ln（3/5)]*arctan(3/5)^x+C
所以原式积分为：
1/[ln（3/5)]*arctan(3/5)^x+C

Answer 3

你看看分母是不是可以分解？
5^x*3^x/(5^x+3^x)(5^x-3^x);
这个式子是可以裂开的：
1/2*(3^x/(5^x+3^x)+3^x/(5^x-3^x));
这样就比较明显了，分式上下同除5^x,你自己演算一下，是不是可以化为原函数为ln的形式？到此应该很显然了吧？
对不定积分，要多做练习才会熟练，加油！

Answer 4

15/16