Question

设区域D={(x,y)|x^2+y^2≤2y},则二重积分（x+2）dxdy=

Answer 1

二重积分∫∫(x+y)^2dxdy，其中积分区域D:x^2+y^2≤4 

∫∫(x+y)^2dxdy=∫∫(x²+y²+2xy)dxdy=∫∫(x²+y²)dxdy

这里由于函数2xy关于x为奇函数,区域D关于y轴对称，所以∫∫2xydxdy=0

=∫[0，2π]dθ∫[0，2]r²×rdr=2π×r^4/4|[0，2]=8π。

扩展资料：

有许多二重积分仅仅依靠直角坐标下化为累次积分的方法难以达到简化和求解的目的。当积分区域为圆域，环域，扇域等采用极坐标会更方便。

在极坐标系下计算二重积分，需将被积函数f（x，y），积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示。函数f（x，y）的极坐标形式为f（rcosθ，rsinθ）。