Question

隐函数求偏导

u=cos(2x+y+z),其中z=f(x,y)由方程yz^3-x^2z-x=0,求偏导u/x（1，0）

Answer 1

yz^3 - x^2z - x = 0， (1) ，x = 1, y = 0 时， z = -1.
式 (1) 两边对 x 求偏导， 得 3yz^2∂z/∂x -2xz - x^2∂z/∂x - 1 = 0
∂z/∂x = (1+2xz)/(3yz^2-x^2) ;
式 (1) 两边对 y 求偏导， 得 z^3 + 3yz^2∂z/∂y - x^2∂z/∂y = 0
∂z/∂y = -z^3/(3yz^2-x^2) ;
u = cos(2x+y+z),
∂u/∂x = -sin(2x+y+z)(2+∂z/∂x) = -sin(2x+y+z)[2+(1+2xz)/(3yz^2-x^2)]
x = 1, y = 0 ， z = -1 时 ∂u/∂x = -3sin1

Answer 2

若 $f(x,y)$ 是一个隐函数，那么其偏导数可以用如下式子表示：
$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = \frac{\partial f(x,y)}{\partial xy}$