Question

高等数学，定积分，请问图中这个三角函数定积分的性质是什么意思？

没有看懂，为啥x的定义域是[0，1]，就用0到π/2的sinx或者cosx代替x了？

Answer 1

你理解错了，不是函数f(x)的定义域是[0，1]，就用0到π/2的sinx或者cosx代替x.而是如果函数f(x)在[0，1]上连续，f(|sinx|)、f(|cosx|)的定积分就与积分的象限无关。也就是说f(|sinx|)、f(|cosx|)在其他象限的定积分都可以拿到第一象限来计算。
再进一步，还有∫[0,π/2]f(sinx)dx=∫[0,π/2]f(cosx)dx,有了这些，不仅象限可以改变，sinx、cosx也可以互换，许多复杂的积分计算也变简单了。例如求定积分∫[0,π/2](sinx)^2dx、
∫[0,π/2](cosx)^2dx的计算，以前需要利用二倍角公式转换，计算较麻烦，但是利用这性质：
∫[0,π/2](sinx)^2dx+∫[0,π/2](cosx)^2dx=∫∫[0,π/2]dx=x|[0,π/2]=π/2
从而：∫[0,π/2](sinx)^2dx=∫[0,π/2](cosx)^2dx=π/4.非常简单。

Answer 2

直接证明即可得。他可以用来求含有sinx的函数的定积分。