设0<X1<2,Xn+1=根号项2+Xn(n=1,2...),证明数列Xn有极限，并求出该极限
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先证明xn有界
猜想:0＜xn＜2
证明(数学归纳法)
当n＝1,0＜x1＜2满足
假设:当n＝k(k≥1)，也有0＜xk＜2成立
那么当n＝k+1(k≥1)，所以0＜Xk+1＝√2+XK＜√（2+2）＝2，所以当n＝k+1，结论也成立
所以0＜xn＜2
再证明单调性:Xn+1-Xn＝√（2+Xn）-Xn＝(2+Xn-Xn^2)/[√（2+Xn）+Xn]＝(2-Xn)(1+Xn)/[√(2+Xn)+Xn]＞0，所以Xn+1＞Xn
说明单调递增
又因为有界，所以数列Xn极限一定存在
设极限为a(a＞0)，所以a＝lim(n→∞)Xn+1＝lim(n→∞)√(2+Xn)＝√(2+a)，所以a^2＝a+2，所以a＝2(a=-1舍去)
极限为2
猜想:0＜xn＜2
证明(数学归纳法)
当n＝1,0＜x1＜2满足
假设:当n＝k(k≥1)，也有0＜xk＜2成立
那么当n＝k+1(k≥1)，所以0＜Xk+1＝√2+XK＜√（2+2）＝2，所以当n＝k+1，结论也成立
所以0＜xn＜2
再证明单调性:Xn+1-Xn＝√（2+Xn）-Xn＝(2+Xn-Xn^2)/[√（2+Xn）+Xn]＝(2-Xn)(1+Xn)/[√(2+Xn)+Xn]＞0，所以Xn+1＞Xn
说明单调递增
又因为有界，所以数列Xn极限一定存在
设极限为a(a＞0)，所以a＝lim(n→∞)Xn+1＝lim(n→∞)√(2+Xn)＝√(2+a)，所以a^2＝a+2，所以a＝2(a=-1舍去)
极限为2
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