Question

求极限...... lim(x^x)/(x!) ......x趋近于正无穷

哪位大神能用数学方法证明这两个极限啊，我是用计算机解出来的
（x! 就当成是连续的伽马函数 gamma(x) 来求极限即可）

万分感谢 >_<!!
第一张图错了！！！！！！！！不好意思，下面是正确的极限式～

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Answer 1

证明：
易知：
函数y=x^x和y=x!都是增函数，因此：
[x]^[x]/[x+1]! ≤ x^x/[x+1]! ≤ x^x/x! ≤ x^x/[x]! ≤ [x+1]^[x+1]/[x]!
关于阶乘的两个重要定理：
1°
∃f(n)，n∈N，当n>n0时，有：
0<f(n)≤(n/2)
那么：
当n>n0时，必成立：
n! > [f(n)]^[f(n)]
根据上述定理易证：
n! > (n/e)^n
2°
n∈N，则：n!<e·(n/2)^n
证明（2）：
因此：
[x]^[x]/[x+1]! > [x]^[x] /e·([x+1]/2)^[x+1] = 2^[x+1] / {e· [x+1]^[x+1]/[x]^[x]}
根据函数y=x^x性质，易知：
当x→+∞时，(x+1)^(x+1) 和(x)^(x)同阶，是同价无穷大（可以通过罗比达求得）
因此：
lim(x→+∞) 2^[x+1] / {e· [x+1]^[x+1]/[x]^[x]}
=lim(x→+∞) 2^[x+1] / e·C （C是常数）
=+∞
[x+1]^[x+1]/[x]! < [x+1]^[x+1] / {[x]/e}^[x]
lim(x→+∞) [x+1]^[x+1] / {[x]/e}^[x]
=lim(x→+∞) e^[x]· C （C是常数）
=+∞
所以：
根据夹逼准则：
原极限 = +∞
同理可以证明（1）的极限=0