Question

请写出下列函数的泰勒展开式。

Answer 1

sinx泰勒展开式是sinx=x-1/3！x^3+1/5！x^5+o（x ^5）。

sinx的泰勒展开式是不固定的，sin(sinx)∽x，设sinx=t，则sint~t，所以sint~t~sinx~x，由等价无穷小的传递性，因此泰勒展开为x，也可以直接算，求五次导数，可以解出除了x项以外都是0。

我们可以将sinx可以被展开成：a0*x^+a1*x^+a2*x^2+a3*x^3+a4*x^4+……这样的幂级数的形式，即：sinx= 1！*x^1+3！*x^3+5！*x^5+7！*x^7+... +(2n+1)！*x^(2n+1)+……这样的幂级数展开叫作正弦函数的泰勒展开。

常用泰勒展开式

e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……

ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k + ……(|x|<1)

sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞

cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞

arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)

arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ) (|x|<1)

arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)