Question

大学数学线性代数与解析几何

请教证明过程，谢谢！

Answer 1

先证，(A,B,C)表示的是平面Ax+By+Cz+D的法向量

任意M1（x1,y1,z1）M2（x2,y2,z2）在这平面上，有

A(x1-x2)+B(y1-y2)+C(z1-z2)+(D-D)=0

即（A,B,C）垂直于向量M1M2 ，与平面上，任意向量正交的，当然就是他的法向量，记

那么

意味着，向量alpha，同时垂直于三个法向量，也就是向量alpha同时，平行于三个平面

det(G)等于0，那么G（alpha）=0有非零解，也就存在向量，同时平行于三个平面。

可能情形是，1三个平面交于一条线；2三平面围出一个三角形截口管；3.三个平面中两个或三个已经重合；4.两个平面平行，第三个截前面二者。

det(G)不等0，那么只有零向量，才能同时平行于三个平面。三个平面两量不平行，想象下，两个平面交于一条线。第三个平面，与这个交线。显然不能平行，只能相交于一个点。也就是

三面交于一点。