Question

已知x,y,z为非负实数,x+y+z=1,求证：？

Answer 1

这提一点都不难啊,稍作变换,然后用算数不等式与几何不等式的关系就证明了.要用这个公式降次
x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
原来没仔细想,只是心算了一把,以为证明了.真的证明起来,发现不是很简单,要用到一个基本不等式,x,y,z为非负实数,
x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x)+z(z-x)(z-y) ≥ 0
这个不等式的英文名字是Schur不等式,证明不难.
由Schur不等式可以直接得出
x^3+y^3+z^3 +3xyz ≥ x^2(y+z) + y^2(z+x) + z^2(x+y)
当x+y+z=1时,可以得到
2（x^3+y^3+z^3） +3xyz ≥ x^2+y^2+z^2
下面开始证明你的问题.
原式左边
= 6(x^3+y^3+z^3) - 5(x^2+y^2+z^2) + 1
= 4（x^3+y^3+z^3) +6 xyz + 2（x^3+y^3+z^3) - 6xyz - 5(x^2+y^2+z^2) + 1
= 4（x^3+y^3+z^3) +6 xyz +2 (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) - 5(x^2+y^2+z^2) + 1
= 4（x^3+y^3+z^3) +6 xyz -3(x^2+y^2+z^2) -2 (xy + yz+ zx) + 1
≥ 2(a^2+b^2+c^2) -3(x^2+y^2+z^2) -2 (xy + yz+ zx) + 1
= -(x^2+y^2+z^2) -2 (xy + yz+ zx) +1
= 1-(x+y+z)^2
= 0
证出来啦.你要玩数学竞赛,Schur不等式 ,Cauchy 不等式这一类基本不等式 是必须掌握的.,9,已知x,y,z为非负实数,x+y+z=1,求证：
x（1-2x）（1-3x）+y（1-2y）（1-3y）+z（1-2z）（1-3z）≥ 0
并指出等号成立的条件