Question

设函数f（x）=ax-（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f（x）＞0}

（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β-α）；
（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1-k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．

Answer 1

　你好，请采纳！
　　(1) 令 f(x)=ax-（1+a^2）x^2= -x[(1+a^2)x-a]=0,
　　得 x=0 或 x=a/(1+a^2)
　　因为 a＞0,-(1+a^2)＜0
　　所以 I={x|0＜x＜a/(1+a^2)}
　　其长度为 a/(1+a^2)
　　(2) 长度 a/(1+a^2)=1/(a+1/a)≤1/[2√(a·1/a)]=1/2
　　当 a=1/a 即 a=1 时长度最大为1/2,所以a/(1+a^2)在(0,1)单调增,在(1,+∞)单调减,
　　而当k ∈（0,1）时,1-k＜1 而 1+k＞1,
　　所以a/(1+a^2)在 a=1-k 或 a=1+k 取得最小值.
　　又 (1-k)/[1+(1-k)²]- (1+k)/[1+(1+k)^2]= -3k^2/{[1+(1-k)^2]·[1+(1+k)^2]}＜0
　　所以 I 长度的最小值为 (1-k)/[1+(1-k)^2]