Question

均值不等式问题

a，b是正实数，且ab-a-b大于等于1，则a+b的最值?

Answer 1

1<=ab-(a+b)<=[(a+b)/2]^2-（a+b)
令a+b=t 则上式变成
1<=t^2÷4-t
即一元二次不等式
t^2÷4-t-1>=0
两边同乘4得
t^2-4t-4>=0
解得
t<=2-2倍根号2 或t>=2+2倍根号2
因为a+b为正数 所以有t>=2+2倍根号2
即 t有最小值t>=2+2倍根号2 无最大值

Answer 2

ab-(a+b)≥1
ab≥(a+b)+1≥2√ab+1
(√ab)^2-2√ab-1≥0
[√ab-1]^2≥2
√ab-1≥√2,
[√ab-1≤-√2不可能]
√ab≥√2+1
ab≥(√2+1)^2=3+2√2
ab≥3+2√2
ab≤(a+b)^2/4
4(3+√2)≤(a+b)^2
a+b≥√(12+4√2)