Question

拜托了 已知定义在(0,正无穷)上的函数f(x),对任意x,y属于(0.正无穷)都有f(x

拜托了 已知定义在(0,正无穷)上的函数f(x),对任意x,y属于(0.正无穷)都有f(xy)=f（x）＋f(y).
1.求f(1)的值
2.若f(x)在(1.正无穷)上单调递增
求证：f(x)在(0.1)上单调递增
如果f（3）＝1解关于x的不等式f(5x)＞f(x-1)+2

Answer 1

1、f(1)=f(1*1)=f(1)+f(1) 得f(1)=0
2、设a>b>1,则他们的倒数0<1/a<1/b<1
则f(1)=f(a*1/a)=f(a)+f(1/a)=f(b*1/b)=f(b)+f(1/b)
f(a)-f(b)=f(1/b)-f(1/a)>0 (函数在（1，正无穷）上是增函数)
f(1/b)>f(1/a)
所以函数在（0,1）上是单调递增

函数定义域为x>0,所以x-1>0,得x>1
f(5x)=f[(x-1)*5x/(x-1)]=f(x-1)+f[5x*(x-1)]>f(x-1)+2 -------------(1)
2=1+1=f(3)+f(3)=f(9)
代入（1）式，得f[5x*(x-1)]>f(9)
函数在（0，正无穷）上单调递增，
所以 5x/(x-1)>9 解得x<9/4
合并得 1<x<9/4