Question

如图所示，已知矩阵A有3个线性无关的特征向量，则x,y 应该满足什么关系？

Answer 1

首先求出A的特征值为1，1，-1，根据定理A可对角化，因而对于二重根1有r(I-A)=3-2=1，从而可求出条件为x+y=0。

推导使用定理：

定理：n阶阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。

定理：n阶阵A可对角化的充分必要条件是对A的任一k重根都有r(λI-A)=n-k。

扩展资料：

求特征值

描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式，λ是A的特征值等价于线性方程组(A _ λI) v = 0 （其中I是单位矩阵）有非零解v (一个特征向量)，因此等价于行列式|A _ λI|=0 [1]  。

函数p(λ) = det(A _ λI)是λ的多项式，因为行列式定义为一些乘积的和，这就是A的特征多项式。矩阵的特征值也就是其特征多项式的零点。

一个矩阵A的特征值可以通过求解方程pA(λ) = 0来得到。 若A是一个n×n矩阵，则pA为n次多项式，因而A最多有n个特征值。

反过来，代数基本定理说这个方程刚好有n个根，如果重根也计算在内的话。所有奇数次的多项式必有一个实数根，因此对于奇数n，每个实矩阵至少有一个实特征值。在实矩阵的情形，对于偶数或奇数的n，非实数特征值成共轭对出现。

求特征向量

一旦找到两两互不相同的特征值λ，相应的特征向量可以通过求解方程(A _ λI) v = 0 得到，其中v为待求特征向量，I为单位阵。

当特征值出现重根时，如λ1=λ2，此时，特征向量v1的求解方法为(A-λ1I)v1=0，v2为(A-λ2I)v2=v1，依次递推。

没有实特征值的一个矩阵的例子是顺时针旋转90度。

参考资料来源：百度百科--特征向量

参考资料来源：百度百科--矩阵